Как написать свой класс промежуточного слоя (BaseHTTPMiddleware) и в каком порядке они выполняются?

Унаследуйтесь от BaseHTTPMiddleware и переопределите dispatch(request, call_next). Зарегистрируйте через app.add_middleware(MyMW). Порядок: LIFO — последний add_middleware оборачивает все предыдущие (он самый внешний).